СТРУКТУРНІ ВЛАСТИВОСТІ РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ – ВАЖЛИВА СКЛАДОВА МАТЕМАТИЧНИХ ЗНАНЬ ВЧИТЕЛІВ МАТЕМАТИКИ
Journal Title: ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНА ОСВІТА - Year 2018, Vol 16, Issue 2
Abstract
У статті досліджуються деякі властивості поля (Q; +, •; 0, 1) раціональних чисел, його підкілець та підгруп адитивної групи (Q; +; 0) і мультиплікативної групи (Q \ {0}; •; 1) цього поля. Одним із основних підкілець поля раціональних чисел є кільце цілих чисел. Стимулом його розширення до мінімального числового поля, яким є поле раціональних чисел, є проблема розв’язності рівняння ax = b з цілими коефіцієнтами. Умова мінімальності поля, де назване рівняння має розв’язок при а ≠ 0, дає відповідь на питання про зображення довільного раціонального числа часткою двох цілих чисел. Отже, множина раціональних чисел Q = Z Q \ Z, де Z– множина цілих чисел, а Q \ Z– множина дробових чисел. Загальновідомим є однозначне подання будь-якого раціонального числа q ≠ 0 нескоротним дробом. Проте, однозначних записів ненульових раціональних чисел існує нескінченна кількість. Наприклад, цікавим і корисним у багатьох задачах є однозначне подання раціонального числа q > 0 у вигляді: , де р – просте натуральне число, n Z, a і b – натуральні числа, причому (a,b) = (a, p) = (b, p) = 1. Для q< 0 відповідно матимемо: . Стосовно кілець раціональних чисел, розглянуто питання їх дискретності та щільності. Доведено, зокрема, що щільним буде кожне підкільце поля раціональних чисел, яке містить дробове число. При дослідженні властивостей числових полів, яких не має поле раціональних чисел, продемонстровано доведення його неповноти без використання ірраціональних чисел. При розгляді адитивних і мультиплікативних груп раціональних чисел запропоновано одне з можливих доведень того, що група автоморфізмів групи (Q; +; 0) ізоморфна групі (Q \ {0}; •; 1), а група автоморфізмів підгруп групи (Q; +; 0) ізоморфна підгрупам групи (Q \ {0}; •; 1). Цей факт проілюстровано на прикладі групи (Z ; + ; 0) цілих чисел та групи (Qp; +; 0) р¬-ових дробів для довільного простого числа р. Знання цих фактів допоможе вчителю математики поглибити та осучаснити знання учнів про систему раціональних чисел.
Authors and Affiliations
Ф. М. Лиман, О. О. Одінцова
Keywords
Related Articles
- EP ID EP425900
- DOI 10.31110/2413-1571-2018-016-2-014
- Views 111
- Downloads 0
НАУКОВО-ДОСЛІДНИЦЬКА ДІЯЛЬНІСТЬ МАЙБУТНІХ УЧИТЕЛІВ У СИСТЕМІ ВДОСКОНАЛЕННЯ МЕТОДОЛОГІЧНОЇ КУЛЬТУРИ
У статті аналізується зміст і характер, спільні та відмінні риси науково-експериментальної та науково-дослідної діяльності студентів; розкриваються характер, етапи, підходи та напрямки науково-дослідної діяльності майбут...
ФОРМУВАННЯ ІНФОРМАЦІЙНО-ЦИФРОВОЇ КОМПЕТЕНТНОСТІ УЧНІВ З ФІЗИКИ ЧЕРЕЗ ПРИЗМУ STEМ-ОСВІТИ
Стаття присвячена особливостям вивчення фізики в основній школі з урахуванням Концепції Нової української школи в умовах STEM-освіти. Підготовка висококваліфікованої та компетентної особистості – один із пріоритетних нап...
ЛІКВІДАЦІЯ АКАДЕМІЧНОЇ РІЗНИЦІ З МАТЕМАТИКИ У СЛУХАЧІВ - ІНОЗЕМЦІВ ПІДГОТОВЧОГО ВІДДІЛЕННЯ
У статті розкриваються особливості навчання математики іноземних слухачів-абітурієнтів підготовчого відділення технічного ЗВО. Визначено основні методи та форми оптимізації адаптаційного процесу слухачів-іноземців, розгл...
ПРОБЛЕМИ ПІДГОТОВКИ УЧИТЕЛЯ ДО ВПРОВАДЖЕННЯ ЕЛЕМЕНТІВ STEM-НАВЧАННЯ МАТЕМАТИКИ
У статті проаналізовано проблеми підготовки учителів математики та інформатики до використання сучасних технологій навчання, зокрема, впровадження елементів STEM-навчання математики учнів у закладах середньої освіти. Осн...
ВАРІАЦІЙНИЙ ПІДХІД ДО ОБРОБКИ ЗОБРАЖЕНЬ З ВИКОРИСТАННЯМ РІВНЯНЬ МАТЕМАТИЧНОЇ ФІЗИКИ
Рівняння Пуассона використовується у багатьох напрямах науки і техніки. Не дивлячись на те, що рівняння Пуассона історично виникло в процесі розв'язання задач математичної фізики, воно знаходить все більше застосовується...