Mathematical induction in proving theoremas about natural numbers divisibility
Journal Title: Problemy Nauk Stosowanych - Year 2013, Vol 1, Issue
Abstract
Introduction and aims: This paper presents the concept of the division of mathematical expressions with natural variable related to the problem of divisibility. The paper shows some proofs of selected problem. The main aim of this paper is to show a few proofs of theorems about divisibility of expressions by using the method of mathematical induction. Material and methods: In this paper have been solved examples from different sources. Considered problems contain: only polynomials, the sum of powers of different bases (and constant as a component), the sum of the products of powers with different bases (and constant as a component), the sum of the powers and polynomials, the sum of the products of powers and polynomials, the sum containing the power of (-1), Fibonacci sequence, the expression containing a power of the power and problems containing power in divider. In the paper has been used the method of mathematical induction. Results: It has been shown 16 proofs of problems by using mathematical induction. In some examples have been used the additional lemmas which complete the main proof. Conclusion: Using some properties of divisibility theorems and the theorem about mathematical induction allow to show proofs which refer to the divisibility by natural number of various mathematical expressions with natural variable n. / Wstęp i cele: W pracy przedstawiono koncepcję podziału wyrażeń matematycznych ze zmienną naturalną odnoszących się do problemu podzielności a także przedstawiono dowody wybranych zadań. Głównym celem pracy jest pokazanie sposobu dowodzenia twierdzeń o podzielności wyrażeń przy zastosowaniu metody indukcji matematycznej. Materiał i metody: W pracy rozwiązano przykłady z różnych źródeł. Rozważono zadania zawierające: tylko wielomiany, sumy potęg o różnych podstawach (i stałą w roli składnika), sumy iloczynów potęg o różnych podstawach (i stałą w roli składnika), sumy potęg i wielomianów, sumy iloczynów potęg i wielomianów, sumy zawierające potęgę (-1), ciąg Fibonacciego, wyrażenia zawierające potęgę potęgi oraz zadania zawierające potęgę w dzielniku. Zastosowano metodę indukcji matematycznej. Wyniki: Przeprowadzono dowody 16 przykładów przy użyciu indukcji matematycznej. W niektórych przykładach zastosowano dodatkowo dowody lematów, które uzupełniają całość dowodu głównego. Wniosek: Korzystanie z pewnych właściwości twierdzeń o podzielności i twierdzenia o indukcji matematycznej pozwala pokazać dowody, które odnoszą się do podzielności przez liczby naturalne różnych wyrażeń matematycznych ze zmienną naturalną.
Authors and Affiliations
Andrzej Antoni Czajkowski, Krystyna Żywuszko
Keywords
Related Articles
- EP ID EP166762
- DOI -
- Views 59
- Downloads 0
Rola polimorfizmów genów MCPH1 i ASPM/MCPH5 w rozwoju mózgowia
Wstęp i cele: Adaptacja ewolucyjna anatomii mózgowia u człowieka rozumnego właściwego pozostaje w zależności z genetycznymi regulatorami rozwoju objętości mózgowia. Do puli genów ewolucyjnych wykazujących zaangażowanie w...
Wnioskowanie o wpływie czynników klimatycznych na kształtowanie się wybranych parametrów antropometrycznych noworodka w aspekcie zmienności sezonowej
Wstęp i cel: W literaturze tematu dostępne są dyskusyjne wzmianki o wpływie czynników klimatycznych na rozwój płodu i efektów wpływu tych działań na kształtowanie się poszczególnych parametrów antropometrycznych u noworo...
O formach aktywności dydaktycznej Rudolfa Virchowa w zakresie medycyny
Wstęp i cele: Zasługą Profesora Rudolfa Virchowa w zakresie medycyny jest przede wszystkim dorobek naukowy w dziedzinie patologii, epidemiologii i higieny. W celu zebrania informacji na temat aktywności dydaktycznej i po...
Oporność na leki przeciwpłytkowe : przyczyny i możliwości diagnostyki
Wstęp i cel pracy: Leki antyagregacyjne odgrywają istotną rolę w prewencji chorób sercowo-naczyniowych. Ważnym problemem klinicznym może stanowić brak skuteczności leczenia przeciwpłytkowego u niektórych chorych. Celem n...
Zastosowanie teorii perkolacji do wyznaczania mocy wydzielanej na próbkach kompozytowych
Wstęp i cele: W pracy przedstawiono sposób analityczno-numeryczny wyznaczania wartości mocy wydzielanej na próbkach walcowych kompozytowych przez prąd upływnościowy powierzchniowy w ujęciu teorii perkolacji. W przyjętym...