Mathematical induction in proving theoremas about natural numbers divisibility
Journal Title: Problemy Nauk Stosowanych - Year 2013, Vol 1, Issue
Abstract
Introduction and aims: This paper presents the concept of the division of mathematical expressions with natural variable related to the problem of divisibility. The paper shows some proofs of selected problem. The main aim of this paper is to show a few proofs of theorems about divisibility of expressions by using the method of mathematical induction. Material and methods: In this paper have been solved examples from different sources. Considered problems contain: only polynomials, the sum of powers of different bases (and constant as a component), the sum of the products of powers with different bases (and constant as a component), the sum of the powers and polynomials, the sum of the products of powers and polynomials, the sum containing the power of (-1), Fibonacci sequence, the expression containing a power of the power and problems containing power in divider. In the paper has been used the method of mathematical induction. Results: It has been shown 16 proofs of problems by using mathematical induction. In some examples have been used the additional lemmas which complete the main proof. Conclusion: Using some properties of divisibility theorems and the theorem about mathematical induction allow to show proofs which refer to the divisibility by natural number of various mathematical expressions with natural variable n. / Wstęp i cele: W pracy przedstawiono koncepcję podziału wyrażeń matematycznych ze zmienną naturalną odnoszących się do problemu podzielności a także przedstawiono dowody wybranych zadań. Głównym celem pracy jest pokazanie sposobu dowodzenia twierdzeń o podzielności wyrażeń przy zastosowaniu metody indukcji matematycznej. Materiał i metody: W pracy rozwiązano przykłady z różnych źródeł. Rozważono zadania zawierające: tylko wielomiany, sumy potęg o różnych podstawach (i stałą w roli składnika), sumy iloczynów potęg o różnych podstawach (i stałą w roli składnika), sumy potęg i wielomianów, sumy iloczynów potęg i wielomianów, sumy zawierające potęgę (-1), ciąg Fibonacciego, wyrażenia zawierające potęgę potęgi oraz zadania zawierające potęgę w dzielniku. Zastosowano metodę indukcji matematycznej. Wyniki: Przeprowadzono dowody 16 przykładów przy użyciu indukcji matematycznej. W niektórych przykładach zastosowano dodatkowo dowody lematów, które uzupełniają całość dowodu głównego. Wniosek: Korzystanie z pewnych właściwości twierdzeń o podzielności i twierdzenia o indukcji matematycznej pozwala pokazać dowody, które odnoszą się do podzielności przez liczby naturalne różnych wyrażeń matematycznych ze zmienną naturalną.
Authors and Affiliations
Andrzej Antoni Czajkowski, Krystyna Żywuszko
Keywords
Related Articles
- EP ID EP166762
- DOI -
- Views 64
- Downloads 0
Power in model of two-dimensiional percolation on hexagonal electrical system
Introduction and aims: This paper presents a power in some model of two-dimensional percolation on hexagonal lattice for various frequencies of force voltage in matrix notation. Main aim is some determination of current...
Analytical and numerical solving of right triangles with given angle and altitude, bisector or median of a triangle
Introduction and aims: The paper shows the analytical models of solving right triangles with appropriate discussion. For right triangles have been discussed six cases taking into account the altitude, bisector and median...
Model analityczno-numeryczny parametrów pracy korbowodu i mechanizmu przegubowego
Wstęp i cele: W pracy przedstawiono dwa zagadnienia mechaniczne, a mianowicie analizę prędkości korbowodu oraz badanie prędkości wznoszenia się mechanizmu przegubowego. Głównym celem pracy jest opracowanie modelu anality...
Ocena wpływu rodzajów stosowanych materiałów ortodontycznych na oczyszczanie szkliwa po zakończonym leczeniu aparatami stałymi
Wstęp i cel: Leczenie ortodontyczne aparatami stałymi wymaga mocowania zaczepu na powierzchni szkliwa każdego zęba stałego. Stosuje się do tego celu materiał kompozytowy, nakładany na podstawę zaczepu, łączący się ze szk...
Fotografia cyfrowa w komunikacji medialnej i spostrzeganiu rzeczywistości
Wstęp i cel: W artykule omówiono proces spostrzegania rzeczywistości zapisanej na fotografii cyfrowej. Dokonano analizy procesu dekodowania i rozumienia informacji cyfrowej zakodowanej na obrazie przez system poznawczy c...