Mathematical modeling of gyroscope dynamicsbased on quaternion

Apply

Mathematical modeling of gyroscope dynamicsbased on quaternion

Journal Title: Математичне моделювання - Year 2018, Vol 1, Issue 2

Abstract

МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ДИНАМІКИ ГІРОСКОПУ НА ОСНОВІ КВАТЕРНІОНА Красніков К.С. Реферат Автор статті розглядає проблему виродження кутів сферичної системи координат, що спричиняє нереалістичну поведінку дроту у металургійному процесі ковшового доведення сталі на прикладі руху гіроскопу. Орієнтація дроту під час перебігу даного процесу на протязі значного часу має вертикальний характер, при чому означена проблема виродження координати виникає саме при вертикальному розташуванні частини дроту (у попередніх роботах дріт представлявся пружньо з’єднаною системою стрижней). Тому з’являється необхідність пошуку інших можливостей моделювання динаміки, наприклад, за допомогою кватерніонів. Метою статті є математична модель на основі кватерніону з порівнянням її у проблемній ситуації, в якій модель на основі кутів сферичної системи координат дає нереалістичну траєкторію руху. Перевірити математичну модель запропоновано на гіроскопі — простому механізмі зі складною ди-намікою і ортогональністю елементів (яка також може бути використана для моделювання кручення дроту). Гіроскоп представлено системою з трьох стрижнів, один з яких є віссю гіроскопа, а два інших зеркально-орієнтованих стрижня ортогонально приєднані до першого. Перший стрижень має можливість обертатися як навколо своєї вісі так і навколо вільного кінця, який не рухається у просторі. Радіус-вектори трьох стрижней визначено так, що умова ортогональності виконується автоматично у рівняннях руху. У першій математичній моделі узагальненими координатами обрано компоненти кватерніону і кут обертання навколо z-вісі. У другій моделі узагальненими координатами є зенітний, азимутальний і кут власного обертання. Динаміка гіроскопу визначається рівняннями Ейлера-Лагранжа, для яких подано вирази кінетичної та потенційної енергії. В результаті одержано систему лінійних алгебраїчних рівнянь відносно прискорень, яка розв’язується методом Холецького. Початковими умовами є розташування гіроскопа у площині X-Y з віссю оберненою на кут 45° навколо z і швидкістю власного обертання у 1 рад/с. Помилку особливо видно на рисунках у момент зміни знаку x-компоненти вектора вісі. Також змодельовано відоме явище прецесії гіроскопа, причому як показано на рисунках швидкість прецесії зменшується у відповідь на збільшення власного обертання гіроскопу. Отже визначення динаміки твердого тіла на прикладі гіроскопу за допомогою кватерніону має більш чисельно стабільний результат, хоча і потребує 4 рівняння на кватерніон, проте їх складові є легшими у порівнянні з тригонометричними операндами другої моделі. У майбутніх дослідження умова одиничної норми може бути також точно врахована у рівняннях руху використовуючи три параметри, але за рахунок ускладнення у вигляді операції ділення. Література 1. Haug Edward J. Computer aided kinematics and dynamics of mechanical systems. Volume I: Basic methods. – Massachusetts: Allyn and Bacon, Inc, 1989. – 500 p. ISBN:0-205-11669-8. 2. Baumgarte, J. Stabilization of constraints and integrals of motion / Computer methods in applied mechanics and engineering, Vol. 1, 1972. – pp. 1–16. 3. Бранец В.Н. Применение кватернионов в задачах ориентации твердого тела. / В.Н. Бранец, И.П. Шмыглевский. – М: «Наука», 1973. – 320 с. 4. Погорелов Д.Ю. Введение в моделирование динамики систем тел: уч. пособие. / Д.Ю. Погорелов. – Брянск: БСТУ, 1997. – 153 с. ISBN 5-230-02435-6 5. Модель прецесії гіроскопа [Електронний ресурс] // Youtube-канал “Kireal Lab”. Режим доступу: https://youtu.be/0K3n3TelCjg (дата звернення 10.09.2018 р.)

Authors and Affiliations

К. С. Кррасніков

Keywords

Решение задачи конвективно-радиационного нагрева (охлаждения) тел простой геометрической формы методом конечных разностей

SOLUTION OF THE PROBLEM FOR CONVECTIVE RADIATION HEATING (COOLING) OF BODIES WITH SIMPLE GEOMETRIC FORM BY THE METHOD OF FINITE DIFFERENCES Gorbunov A.D., Ukleina S.V. Abstract The heating or cooling of bodies under t...

EP ID EP444584
DOI 10.31319/2519-8106.2(39)2018.154209
Views 80
Downloads 0