Mathematical modeling of gyroscope dynamicsbased on quaternion
Journal Title: Математичне моделювання - Year 2018, Vol 1, Issue 2
Abstract
МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ДИНАМІКИ ГІРОСКОПУ НА ОСНОВІ КВАТЕРНІОНА Красніков К.С. Реферат Автор статті розглядає проблему виродження кутів сферичної системи координат, що спричиняє нереалістичну поведінку дроту у металургійному процесі ковшового доведення сталі на прикладі руху гіроскопу. Орієнтація дроту під час перебігу даного процесу на протязі значного часу має вертикальний характер, при чому означена проблема виродження координати виникає саме при вертикальному розташуванні частини дроту (у попередніх роботах дріт представлявся пружньо з’єднаною системою стрижней). Тому з’являється необхідність пошуку інших можливостей моделювання динаміки, наприклад, за допомогою кватерніонів. Метою статті є математична модель на основі кватерніону з порівнянням її у проблемній ситуації, в якій модель на основі кутів сферичної системи координат дає нереалістичну траєкторію руху. Перевірити математичну модель запропоновано на гіроскопі — простому механізмі зі складною ди-намікою і ортогональністю елементів (яка також може бути використана для моделювання кручення дроту). Гіроскоп представлено системою з трьох стрижнів, один з яких є віссю гіроскопа, а два інших зеркально-орієнтованих стрижня ортогонально приєднані до першого. Перший стрижень має можливість обертатися як навколо своєї вісі так і навколо вільного кінця, який не рухається у просторі. Радіус-вектори трьох стрижней визначено так, що умова ортогональності виконується автоматично у рівняннях руху. У першій математичній моделі узагальненими координатами обрано компоненти кватерніону і кут обертання навколо z-вісі. У другій моделі узагальненими координатами є зенітний, азимутальний і кут власного обертання. Динаміка гіроскопу визначається рівняннями Ейлера-Лагранжа, для яких подано вирази кінетичної та потенційної енергії. В результаті одержано систему лінійних алгебраїчних рівнянь відносно прискорень, яка розв’язується методом Холецького. Початковими умовами є розташування гіроскопа у площині X-Y з віссю оберненою на кут 45° навколо z і швидкістю власного обертання у 1 рад/с. Помилку особливо видно на рисунках у момент зміни знаку x-компоненти вектора вісі. Також змодельовано відоме явище прецесії гіроскопа, причому як показано на рисунках швидкість прецесії зменшується у відповідь на збільшення власного обертання гіроскопу. Отже визначення динаміки твердого тіла на прикладі гіроскопу за допомогою кватерніону має більш чисельно стабільний результат, хоча і потребує 4 рівняння на кватерніон, проте їх складові є легшими у порівнянні з тригонометричними операндами другої моделі. У майбутніх дослідження умова одиничної норми може бути також точно врахована у рівняннях руху використовуючи три параметри, але за рахунок ускладнення у вигляді операції ділення. Література 1. Haug Edward J. Computer aided kinematics and dynamics of mechanical systems. Volume I: Basic methods. – Massachusetts: Allyn and Bacon, Inc, 1989. – 500 p. ISBN:0-205-11669-8. 2. Baumgarte, J. Stabilization of constraints and integrals of motion / Computer methods in applied mechanics and engineering, Vol. 1, 1972. – pp. 1–16. 3. Бранец В.Н. Применение кватернионов в задачах ориентации твердого тела. / В.Н. Бранец, И.П. Шмыглевский. – М: «Наука», 1973. – 320 с. 4. Погорелов Д.Ю. Введение в моделирование динамики систем тел: уч. пособие. / Д.Ю. Погорелов. – Брянск: БСТУ, 1997. – 153 с. ISBN 5-230-02435-6 5. Модель прецесії гіроскопа [Електронний ресурс] // Youtube-канал “Kireal Lab”. Режим доступу: https://youtu.be/0K3n3TelCjg (дата звернення 10.09.2018 р.)
Authors and Affiliations
К. С. Кррасніков
Keywords
Related Articles
- EP ID EP444584
- DOI 10.31319/2519-8106.2(39)2018.154209
- Views 90
- Downloads 0
PHYSICO-CHEMICAL MODELING OF OBTAINING IN THE CONDITIONS OF SELF PROPAGATING HIGH-TEMPERATURE SYNTHESIS CORROSION RESISTANT COATINGS
PHYSICO-CHEMICAL MODELING OF OBTAINING IN THE CONDITIONS OF SELF-PROPOGATING HIGH-TEMPERATURE SYNTHESIS FO CORROSION RESISTANT COATINGS Beigyl O.A., Sereda D.B. Abstract There are many methods of strengthening the surfa...
Асимптотичний аналіз нестаціонарних систем автоматичного ке-рування
ASYMPTOTIC ANALYSIS OF NON-STATIONARY OF AUTOMATIC CONTROL SYSTEMS Rashevs’kyi M.O. Abstract Models of non-stationary automatic control systems are differential equations with variable coefficients. Such equations do n...
Оптимізація режимних параметрів процесу різання зношених пневматичних шин, вибір оптимального матеріалу та геометричних параметрів ріжучого інструменту при визначених умовах
OPTIMIZATION OF OPERATIONAL PARAMETERS OF THE CUTTING PROCESS OF WORN PNEUMATIC TIRES, CHOOSING THE OPTIMAL MATERIAL AND GEOMETRIC PARAMETERS OF CUTTING TOOLS UNDER CERTAIN CONDITIONS Sokolov A.D., Korobochka A.N., Sasov...
Розробка математичної моделі очистки фенольних стічних вод від смолистих речовин. Частина 2
REMOVAL OF RESINOUS SUBSTANCES FROM PHENOLIC WASTEWATER: DEVELOPMENT OF A MATHEMATICAL MODEL. PART 2 Trikilo A.I., Yelatontsev D.O. Abstract The article represents the cluster analysis of experimental data, which were o...
Сплайн-метод наближеного розв’язку диференціальних рівнянь з розривними коефіцієнтами
A SPLINE METHOD FOR APPROXIMATE SOLUTION OF DIFFERENTIAL EQUATIONS WITH DISCONTINUOUS COEFFICIENTS Dronov S.G. Abstract This study presents an algorithm for approximate solving of a marginal problem for the common second...