Mathematical modeling of gyroscope dynamicsbased on quaternion

Journal Title: Математичне моделювання - Year 2018, Vol 1, Issue 2

Abstract

МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ДИНАМІКИ ГІРОСКОПУ НА ОСНОВІ КВАТЕРНІОНА Красніков К.С. Реферат Автор статті розглядає проблему виродження кутів сферичної системи координат, що спричиняє нереалістичну поведінку дроту у металургійному процесі ковшового доведення сталі на прикладі руху гіроскопу. Орієнтація дроту під час перебігу даного процесу на протязі значного часу має вертикальний характер, при чому означена проблема виродження координати виникає саме при вертикальному розташуванні частини дроту (у попередніх роботах дріт представлявся пружньо з’єднаною системою стрижней). Тому з’являється необхідність пошуку інших можливостей моделювання динаміки, наприклад, за допомогою кватерніонів. Метою статті є математична модель на основі кватерніону з порівнянням її у проблемній ситуації, в якій модель на основі кутів сферичної системи координат дає нереалістичну траєкторію руху. Перевірити математичну модель запропоновано на гіроскопі — простому механізмі зі складною ди-намікою і ортогональністю елементів (яка також може бути використана для моделювання кручення дроту). Гіроскоп представлено системою з трьох стрижнів, один з яких є віссю гіроскопа, а два інших зеркально-орієнтованих стрижня ортогонально приєднані до першого. Перший стрижень має можливість обертатися як навколо своєї вісі так і навколо вільного кінця, який не рухається у просторі. Радіус-вектори трьох стрижней визначено так, що умова ортогональності виконується автоматично у рівняннях руху. У першій математичній моделі узагальненими координатами обрано компоненти кватерніону і кут обертання навколо z-вісі. У другій моделі узагальненими координатами є зенітний, азимутальний і кут власного обертання. Динаміка гіроскопу визначається рівняннями Ейлера-Лагранжа, для яких подано вирази кінетичної та потенційної енергії. В результаті одержано систему лінійних алгебраїчних рівнянь відносно прискорень, яка розв’язується методом Холецького. Початковими умовами є розташування гіроскопа у площині X-Y з віссю оберненою на кут 45° навколо z і швидкістю власного обертання у 1 рад/с. Помилку особливо видно на рисунках у момент зміни знаку x-компоненти вектора вісі. Також змодельовано відоме явище прецесії гіроскопа, причому як показано на рисунках швидкість прецесії зменшується у відповідь на збільшення власного обертання гіроскопу. Отже визначення динаміки твердого тіла на прикладі гіроскопу за допомогою кватерніону має більш чисельно стабільний результат, хоча і потребує 4 рівняння на кватерніон, проте їх складові є легшими у порівнянні з тригонометричними операндами другої моделі. У майбутніх дослідження умова одиничної норми може бути також точно врахована у рівняннях руху використовуючи три параметри, але за рахунок ускладнення у вигляді операції ділення. Література 1. Haug Edward J. Computer aided kinematics and dynamics of mechanical systems. Volume I: Basic methods. – Massachusetts: Allyn and Bacon, Inc, 1989. – 500 p. ISBN:0-205-11669-8. 2. Baumgarte, J. Stabilization of constraints and integrals of motion / Computer methods in applied mechanics and engineering, Vol. 1, 1972. – pp. 1–16. 3. Бранец В.Н. Применение кватернионов в задачах ориентации твердого тела. / В.Н. Бранец, И.П. Шмыглевский. – М: «Наука», 1973. – 320 с. 4. Погорелов Д.Ю. Введение в моделирование динамики систем тел: уч. пособие. / Д.Ю. Погорелов. – Брянск: БСТУ, 1997. – 153 с. ISBN 5-230-02435-6 5. Модель прецесії гіроскопа [Електронний ресурс] // Youtube-канал “Kireal Lab”. Режим доступу: https://youtu.be/0K3n3TelCjg (дата звернення 10.09.2018 р.)

Authors and Affiliations

К. С. Кррасніков

Keywords

Related Articles

Оптимізація систем резервування методом точної квадратичної регуляції

The problem of optimization of the structure of systems redundancy elements. Such problems arise in the design of complex systems. To improve the reliability of operation of such systems of its elements are duplicated. T...

Комп’ютерна реалізація математичної моделі оптимального розміщення сучасних відділень зв'язку, що надають різні види послуг

The results of application of algorithms of decision of continuous nonlinear multigrocery problems of optimal set partition to the row of the applied tasks of the optimum placing of the modern communication offices that...

Methodology of using interactive expert-training educational tools in teaching “Discrete Mathematics”

The work is found out of the development and implementation by learning process automated means of studying. The description given by expert-training curricula that enable self-study content modules "Boolean functions" a...

Алгоритм визначення економічних результатів роботи підприємства

ALGORITHM OF DEFINITION ECONOMIC RESULTS WORK OF THE ENTERPRISE Levchuk K.O., Romaniuk R.Ja. Abstract Economic efficiency of activity is estimated by means groups of indicators. Set of indicators work which allows to re...

Побудова профілівIRT за допомогою сплайнів, які зберігають середнє значення

IRT profiles scheme using average interpolating splines. The article deals with the construction characteristics of the aggregate quality of tests using average interpolating splines. It was found that the use of splines...

Download PDF file
  • EP ID EP444584
  • DOI 10.31319/2519-8106.2(39)2018.154209
  • Views 89
  • Downloads 0

How To Cite

К. С. Кррасніков (2018). Mathematical modeling of gyroscope dynamicsbased on quaternion. Математичне моделювання, 1(2), 66-71. https://europub.co.uk/articles/-A-444584